澳洲5计划群!证明子群的并集仍为子群

　　前言：

　　在群论的研究中，子群的概念是群论中的基本概念之一。子群是指一个群在某种运算下，其内部元素组成的集合，它本身也满足群的性质。而子群的并集，即多个子群的并集，是否仍然满足子群的条件，这是一个值得探讨的问题。本文将深入探讨这一问题，并通过严格的证明过程，展示子群的并集仍然为子群。

　　一、子群的定义与性质

　　首先，我们需要明确子群的定义。设 ( G ) 是一个群，( H ) 是 ( G ) 的一个非空子集，如果 ( H ) 在 ( G ) 的运算下也构成一个群，则称 ( H ) 为 ( G ) 的一个子群。

　　1. 子群的封闭性

　　对于任意 ( a, b \in H )，( ab \in H )。这是因为 ( H ) 是 ( G ) 的子集，且 ( G ) 是一个群，满足封闭性。

　　2. 子群的结合性

　　对于任意 ( a, b, c \in H )，( (ab)c = a(bc) )。这是因为 ( H ) 是 ( G ) 的子集，且 ( G ) 是一个群，满足结合性。

　　3. 子群的单位元

　　存在一个元素 ( e \in H )，使得对于任意 ( a \in H )，( ea = ae = a )。这是因为 ( H ) 是 ( G ) 的子集，且 ( G ) 是一个群，满足单位元的存在性。

　　4. 子群的逆元

　　对于任意 ( a \in H )，存在一个元素 ( a^{-1} \in H )，使得 ( aa^{-1} = a^{-1}a = e )。这是因为 ( H ) 是 ( G ) 的子集，且 ( G ) 是一个群，满足逆元的存在性。

　　二、子群的并集的定义与性质

　　接下来，我们定义子群的并集。设 ( H_1, H_2, \ldots, H_n ) 是 ( G ) 的子群，则它们的并集 ( \bigcup_{i=1}^{n} H_i ) 是由所有 ( H_i ) 中的元素组成的集合。

　　1. 子群的并集的封闭性

　　对于任意 ( a, b \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，我们需要证明 ( ab \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )。由于 ( a, b \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，则存在某个 ( i ) 使得 ( a, b \in H_i )。因为 ( H_i ) 是 ( G ) 的子群，满足封闭性，所以 ( ab \in H_i )，进而 ( ab \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )。

　　2. 子群的并集的结合性

　　对于任意 ( a, b, c \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，我们需要证明 ( (ab)c = a(bc) )。由于 ( a, b, c \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，则存在某个 ( i ) 使得 ( a, b, c \in H_i )。因为 ( H_i ) 是 ( G ) 的子群，满足结合性，所以 ( (ab)c = a(bc) )。

　　3. 子群的并集的单位元

　　由于 ( H_1, H_2, \ldots, H_n ) 都是 ( G ) 的子群，它们都包含单位元 ( e )。因此，( e \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，即 ( \bigcup_{i=1}^{n} H_i ) 包含单位元。

　　4. 子群的并集的逆元

　　对于任意 ( a \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，我们需要证明存在一个元素 ( a^{-1} \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，使得 ( aa^{-1} = a^{-1}a = e )。由于 ( a \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )，则存在某个 ( i ) 使得 ( a \in H_i )。因为 ( H_i ) 是 ( G ) 的子群，满足逆元的存在性，所以存在 ( a^{-1} \in H_i )，使得 ( aa^{-1} = a^{-1}a = e )。因此，( a^{-1} \in \bigcup_{i=1}^{n} H_i )。

　　三、结论

　　通过上述证明，我们可以得出结论：子群的并集仍然为子群。这一结论在群论的研究中具有重要意义，它为群论的研究提供了更加丰富的内容。

　　（未完待续）